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Charla «Benoît Mandelbrot: Fractales y el arte de la fracturación» de TED2010 en español.
En TED2010, el emérito matemático Benoît Mandelbrot desarrolla una temática ya discutida en TED en 1984: la extrema complejidad de la fracturación y la manera en que la matemática fractal encuentra el orden dentro de estructuras complejas más allá de toda comprensión.
- Autor/a de la charla: Benoit Mandelbrot
- Fecha de grabación: 2010-02-12
- Fecha de publicación: 2010-07-06
- Duración de «Benoît Mandelbrot: Fractales y el arte de la fracturación»: 1029 segundos
Traducción de «Benoît Mandelbrot: Fractales y el arte de la fracturación» en español.
Muchas gracias.
Disculpen que me siente, soy un hombre viejo.
(Risas)
Bien, el tema que voy a tratar es de algún modo muy peculiar porque es muy antiguo.
La fracturación es parte de la vida humana eternamente.
Escritores de la antigüedad han escrito acerca de ello.
Era prácticamente incontrolable.
Y de alguna manera, parecía ser la complejidad extrema, un desorden, un caos.
Hay varios tipos de desórdenes.
Bien, por una total casualidad, incursioné muchos años atrás en el estudio de esta forma de complejidad.
Y para mi total asombro, Encontré vestigios, vestigios muy concretos, debo decir de orden en esa fracturación.
Por eso hoy quiero presentarles algunos ejemplos de lo que esto representa.
Prefiero la palabra «fracturación» a «irregularidad» porque «irregularidad» para alguien que estudió latín como yo en mi lejana juventud significa lo contrario de «regularidad».
Pero no es así.
Regularidad es lo contrario de fracturación porque en el mundo, básicamente, hay fracturación.
Les mostraré varios objetos.
Algunos son artificiales.
Otros, en cierto sentido, son muy reales.
Este es real: es una coliflor.
Ahora, ¿por qué les muestro una coliflor, un vegetal antiguo y común? Porque si bien es antiguo y común, es también muy complicado y muy simple al mismo tiempo.
Es muy fácil de pesar.
Y al comerlo, el peso importa.
Pero si intentamos medir su superficie.
Bueno, es muy interesante.
Si cortamos con un cuchillo un cogollito de una coliflor y lo observamos por separado, tenemos una coliflor entera, pero más pequeña, Y si la cortamos nuevamente, y otra vez, y otra, y otra, y otra, siguen apareciendo coliflores pequeñitas.
Es que la experiencia de la humanidad siempre ha presentado formas con esta peculiar característica, en donde cada parte es similar al todo, pero más pequeño.
¿Y qué hizo la humanidad con eso? Muy, muy poco.
(Risas)
Entonces yo analicé este problema, y encontré algo asombroso.
Que es que se puede medir la fracturación mediante un número, 2,3; 1,2 y a veces mucho mayor.
Un día, un amigo mío, para bromear, me mostró un dibujo y dijo: -¿Cuál es la fracturación de esta curva? Yo le respondí: -Bueno, apenas casi 1,5.
La respuesta era 1,48.
Me llevó un instante.
Había estado observando estas cosas por años.
Así que estos números determinan la fracturación de estas superficies.
Me apuro a decir que estas superficies son completamente artificiales.
Generadas por computadora con sólo ingresar un número.
Y que ese número representa la fracturación.
Aquí a la izquierda, utilicé un valor copiado de varios paisajes.
A la derecha, utilicé una mayor fracturación.
Para que luego el ojo pueda distinguir estas dos correctamente.
La humanidad debió aprender sobre medición de la fracturación.
Muy fracturado, bastante liso, o perfectamente liso.
Muy pocas cosas son perfectamente lisas.
Así que si intentamos preguntarnos -¿Cuál es la superficie de una coliflor? Bueno, hay que medir, medir y medir.
Resulta más grande cuanto más nos acercamos, hasta distancias muy, muy pequeñas.
¿Qué longitud tienen las costas de estos lagos? Cuanto más de cerca medimos, más longitud tienen.
El concepto de longitud costera, que parece algo tan natural porque aparece con frecuencia como dato, es, en realidad, una mentira; no existe.
Debemos calcularla de otra manera.
¿En qué nos beneficia saber estas cosas? Bueno, por sorprendente que parezca, en muchos aspectos.
Para empezar, los paisajes artificiales, que yo, de alguna manera, inventé, se usan en películas constantemente.
Vemos montañas distantes.
Podrían ser montañas reales, o podrían ser también fórmulas.
Ahora es muy sencillo de lograr.
Solía llevar tiempo y esfuerzo, pero hoy no es nada.
Observen esto: es un pulmón real.
El pulmón es un órgano muy extraño.
Si tomamos un pulmón, notaremos que pesa muy poco.
Tiene un volumen muy pequeño.
Pero ¿y su área? Los anatomistas han discutido mucho sobre el tema.
Algunos dicen que un pulmón de un varón normal tiene un área interna similar al de una pelota de básquet.
Y otros dicen: no, de cinco pelotas.
Desacuerdo total.
¿Y por qué? Porque, por cierto, el área de un pulmón no ha sido definida con certeza.
Los bronquios se ramifican hasta alcanzar un límite no por una cuestión de principios, sino por razones físicas: como la mucosa en los pulmones.
Entonces sucede que, de esa manera, tenemos un pulmón más grande, pero si se ramifica, hasta distancias similares en una ballena, en un hombre y en un pequeño roedor, bien, ¿qué se gana con eso? Porque nos sorprenderá saber, que los anatomistas, hasta hace muy poco, conocían la estructura del pulmón muy vagamente.
Y yo pienso que mi matemática, por asombroso que parezca, ha servido de gran ayuda a los cirujanos que estudian enfermedades pulmonares y renales.
Para estas ramificaciones no existía una geometría.
Así que yo, en otras palabras, me encotré construyendo una geometría, para aquellas cosas que carecían de una.
Y lo asombroso de esto es que, con frecuencia, las leyes de esta geometría son extremadamente exiguas.
Tenemos largas fórmulas que aplicamos varias veces algunas las repetimos una y otra vez.
La misma repetición.
Y al final obtenemos cosas como ésta.
Esta nube es completamente, 100 por ciento, artificial.
Bueno…
99,9 por ciento.
La única parte que es natural es un número, la fracturación de la nube, tomada de la naturaleza.
Algo tan complicado como una nube, tan inestable, tan variable, debería seguir una ley simple.
Bien, esta ley simple no es una explicación de las nubes.
El observador de nubes tuvo que tener esto en cuenta.
No sé cuán avanzadas son estas imágenes son antiguas.
Yo estaba muy involucrado en esto, pero luego me dediqué a otros fenómenos.
Aquí hay otra cosa bastante interesante.
Uno de los eventos demoledores en la historia de la matemática y que muchos subestiman, ocurrió hace unos 130 años, 145 años atrás.
Los matemáticos comenzaron a crear formas que no existían.
Y empezaron a auto-halagarse hasta niveles asombrosos dada la capacidad del hombre para inventar cosas desconocidas por la naturaleza.
Más concretamente cosas como una curva que cubre un plano.
Una curva es una curva, un plano es un plano, no se mezclan.
Bueno, sí se mezclan.
Un hombre de nombre Peano, definió esas curvas, que enseguida generaron gran interés.
Fue muy importante, pero por sobre todo, interesante porque fue una especie de quiebre, una ruptura entre la matemática derivada de la realidad y la nueva, proveniente puramente de la mente.
No me fue agradable clarificar que la mente humana pura en realidad ha visto, de una vez por todas, lo que ya había sido visto por años.
Así que aquí les presento esto: el conjunto de ríos de una curva que cubre a un plano.
Y bien es una historia en sí misma.
Así que de 1875 a 1925 tenemos un período extraordinario en el que la matemática se prepararó para asaltar al mundo.
Y los objetos que se utilizaron como ejemplos cuando yo era un niño y un estudiante como ejemplos de la ruputura entre la matemática y la realidad visible, a esos objetos yo les dí un giro completamente nuevo: los utilicé para describir ciertos aspectos de la complejidad de la naturaleza.
Bien, en 1919 un hombre llamado Hausdorff presentó un número que era un mero chiste matemático.
Y yo descubrí que ese número representaba la medida de la fracturación.
Cuando les comenté esto a mis amigos matemáticos me dijeron: -No seas tonto, eso es una tontería.
Bien, yo en realidad no era tonto.
El gran pintor Hokusai lo sabía muy bien.
Lo que aparece en el suelo son algas.
El no conocía su matemática, no existía aún.
Y siendo japonés, no tenía contacto con Occidente.
Pero la pintura, por mucho tiempo, tuvo su lado fractal.
Puedo hablar de eso por largo tiempo.
La torre Eiffel tiene un costado fractal.
Yo leí el libro de Eiffel acerca de su torre.
Y es verdaderamente impresionante todo lo que él entendía.
Esto es un desorden, el lazo browniano.
Un día decidí que, (durante mi carrera muchas cosas me distrajeron de mi trabajo) decidí auto-evaluarme.
¿Podría yo, al observar algo que todos habían observado durante mucho tiempo podría encontrar algo decididamente nuevo? Bien, entonces observé esto que se llama movimiento browniano, que se desplaza.
Jugué con él por un rato, y lo hice regresar a su posición original.
Y le dije a mi asistente: -No encuentro nada, ¿puedes pintarlo? Y el lo pintó lo rellenó todo por dentro.
Y dijo: -Mira lo que resultó- y yo dije: -¡deténte, deténte! Puedo verlo, es una isla.
Sorprendente.
Así que el movimiento browniano con un índice de fracturación igual a dos, se desplaza.
1,33; yo lo medí.
Una y otra y otra vez.
Grandes medidas, movimientos brownianos grandes.
1,33.
Un problema matemático, ¿cómo verificarlo? A mis compañeros les llevó 20 años.
Tres de ellos obtuvieron pruebas incompletas.
Se presentaron juntos y lo verificaron.
Y así obtuvieron la gran medalla en matemática, una de las tres medallas que se pueden obtener por verificar cosas que yo he visto sin ser capaz de verificar.
Todo el mundo me ha preguntado: -¿Cómo comenzó todo? -¿Por qué se dedicó usted a algo tan extraño? Y qué hizo que yo deviniera al mismo tiempo ingeniero mecánico, geógrafo, matemático, etc, físico.
Bueno, por extraño que parezca comencé estudiando el mercado de valores.
Así que desarrollé una teoría y escribí libros contándola: el incremento de precios.
A la izquierda se ven valores a lo largo de un período.
Arriba a la derecha, una teoría muy elegante.
Fue fácil, se pueden escribir rápidamente muchos libros sobre ella.
(Risas)
Hay miles de libros sobre el tema.
Ahora, comparemos eso con el incremento de precios real.
¿Dónde está el incremento de precios real? Bien, estas otras líneas representan el incremento real y también ficticio, hecho por mí.
Entonces la idea consistía en que uno puede ¿cómo decirlo? modelar la variación en el precio.
Y hace 50 años funcionó muy bien.
Durante 50 años la gente desdeñó mi teoría porque podían hacerlo mucho más fácil.
Pero al menos me escuchaban.
(Risas)
Estas dos curvas representan promedios.
Standard & Poor, la azul.
Y la roja es Standard & Poor’s, de donde se obtienen las cinco mayores discontinuidades.
Por cierto las discontinuidades son un incordio.
Por eso en muchos análisis de precios son dejadas de lado.
Se las considera «caso fortuito».
Y lo que queda no tiene sentido.
Los casos fortuitos en esta imagen…
importan tanto cinco casos fortuitos como cualquier otra cosa.
En otras palabras, no son los casos fortuitos lo que debemos dejar de lado.
Ellos son la esencia, el problema.
Si podemos dominarlos, dominamos el precio.
Y si no, podemos intentar con las fluctuaciones, lo mejor posible, pero no tienen tanta importancia.
Bien, estas curvas lo muestran.
Una última cosa: el conjunto que lleva mi nombre en cierta manera es la historia de mi vida.
Durante mi adolescencia Francia estaba bajo la ocupación alemana.
Y yo, creyendo que desaparecería de un día para el otro, tenía grandes sueños.
Y después de la guerra me reencontré con un tío mío que era un prominente matemático, y él me dijo: -Mira, hay un problema que yo no pude resolver hace 25 años y que nadie puede resolver.
Es una construcción de un hombre llamado Gaston Julia y un hombre llamado Pierre Fatou.
Si tú puedes encontrar algo nuevo, cualquier cosa, tu carrera estará hecha.
Así de simple.
Entonces observé y al igual que mis predecesores, no encontré nada.
Pero luego vinieron las computadoras.
Así que decidí usarlas no para resolver nuevos problemas matemáticos como este serpenteo, eso es nuevo.
Sino antiguos problemas.
Partiendo de lo que denominamos números reales, que son puntos en una línea, hasta números imaginarios, complejos, que son puntos en un plano, que es lo que debemos hacer aquí.
Y resultó esta forma que tiene una complejidad extraordinaria.
La ecuación está oculta ahí: z se transforma en z al cuadrado, más c.
Tan simple, tan cortante.
Tan aburrido.
Pero si damos una vuelta de tuerca, o dos vueltas, aparecen maravillas.
Quiero decir, aparece esto.
No voy a explicar estas cosas.
Aparece esto.
Formas tan complicadas, tan armoniosas, tan hermosas.
Aparece esto una y otra vez Y ése fue uno de mis más grandes descubrimientos, descubrir que estas islas son prácticamente idénticas al todo que las engloba.
Y el resultado son estos firuletes barrocos, extraordinarios, por doquier.
Todo eso a partir de esta formulita, que tiene apenas cinco símbolos.
Y luego ésta.
Aparecen en colores por dos razones: primero, porque estas formas son tan complicadas que es imposible entender los números.
Y si vamos a utilizarlas, necesitamos un método.
Así que mi premisa fue presentar las formas de diferentes colores porque cada color destaca algo diferente.
Es tan complicado.
(Risas)
En 1990 yo estaba en el Reino Unido para recibir un premio de la Universidad de Cambridge.
Y tres días más tarde un piloto sobrevoló un campo y encontró esto.
¿Y de dónde salió esto? Extraterrestres, obviamente.
(Risas)
Bien, entonces el diario de Cambridge publicó un artículo sobre ese «descubrimiento» y al día siguiente recibió 5.000 cartas que decían: -Se trata simplemente del conjunto de Mandelbrot.
Bien, permítanme terminar.
Esta figura que ven aquí proviene de un ejercicio de matemática pura.
De las leyes más simples nacen infinitas maravillas que se repiten indefinidamente.
Muchas gracias.
(Aplauso)
https://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_and_the_art_of_roughness/