Una ecuación polinómica es una ecuación que contiene dos o más términos.
En este artículo haremos una explicación sencilla de las ecuaciones polinómicas.
Si una ecuación polinómica contiene una sola variable, a la que podemos llamar x, su forma es la siguiente:
anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a2x2 + a1x + a0 = 0
donde n es un entero positivo, y an … a0 son constantes.
Por ejemplo,
5x6 + 3x5 + 4x4 + x3 + 3x2 + 2x + 7 = 0
es una ecuación polinómica.
El grado de una ecuación polinómica es n, la potencia más elevada de x.
El grado del polinomio en el ejemplo anterior es 6.
Las ecuaciones polinómicas de grado bajo tienen nombres específicos.
Un polinomio de grado 1, como
2x + 1
se denomina ecuación lineal.
Un polinomio de grado 2, como
4x2 + 5x + 2
se denomina ecuación cuadrática.
Un polinomio de grado 3, como
3x3 + 6x2 + x + 2
se denomina ecuación cúbica.
Un polinomio de grado cuatro se llama ecuación cuártica, y un polinomio de grado cinco se denomina ecuación quíntica.
Una ecuación polinómica no siempre estará igualada a 0. A veces, uno de los miembros de la ecuación polinómica es una función de x, y los polinomios se igualan a menudo a f (x).
Por ejemplo,
f (x) = 2x2 + 4x + 3
Cuando se especifica f (x) como una función particular, la ecuación siempre se puede reordenar, sumando (o sustrayendo) términos en ambos lados de la igualdad, de forma que se haga igual a 0.
Por ejemplo, si restamos 7 a los miembros de la siguiente ecuación lineal
3x + 1 = 7
se obtiene
3x – 6 = 0
A veces es necesario multiplicar o dividir ambos miembros de la igualdad por algún término.
Por ejemplo, la ecuación se puede reordenar como sigue.
Primero, multiplicando los dos miembros de la igualdad por 2 para dar
2x + 3 = -10x
Y a continuación, sumando 10x a ambos miembros para dar
12x + 3 = 0
Resolver una ecuación polinómica significa hallar qué valores de x hacen verdadera la ecuación.
Estos valores reciben el nombre de raíces de la ecuación.
Por ejemplo, la raíz de la ecuación anterior
3x – 6 = 0, es x = 2
ya que cuando se sustituye x por 2 la parte izquierda de la igualdad también vale 0; x = 2 satisface la ecuación.
Existen métodos estándar para resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas, pero no para ecuaciones de grado más elevado.
Todas estas reglas permiten hallar una solución en un número finito de pasos que involucran sólo adición, multiplicación, sustracción , división y evaluación de radicales.
Las reglas para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas se conocen desde hace muchos siglos.
La regla para las ecuaciones cúbicas fue descubierta hacia 1515 por Scipione del Ferro (c. 1465–1526) y la de las ecuaciones cuárticas por Ludovico Ferrari (1522–1565) hacia 1545.
En 1824 Niels Henrik Abel (1802–1829) demostró de forma definitiva que, en general, no es posible obtener reglas de este tipo para resolver ecuaciones de grado cinco o superior.
Una ecuación lineal siempre tiene una raíz, una ecuación cuadrática siempre tiene dos, una cúbica tiene tres raíces, y así sucesivamente.
Las raíces de una ecuación no serán necesariamente números reales.
Una ecuación puede tener todas sus raíces reales, todas sus raíces complejas, o algunas raíces que sean números reales y otras números complejos.