Tesis doctoral de Lara Hernando Orden
Construcción y análisis de funciones de scar. Aplicación a un oscilador cuártico y a sistemas moleculares. esta tesis aborda el desarrollo de un nuevo método de construcción de funciones de scar en un potencial cuártico, altamente caótico, y su extensión a la construcción de estas funciones en sistemas moleculares con dinámica mixta, en particular en el sistema licn. El estudio de la espectroscopia y de las funciones de distribución en el espacio de fases cuántico (wigner, husimi) de las funciones de scar construidas va a servir para estudiar la correspondencia clásico-cuántica en sistemas clásicamente caóticos y poner de manifiesto la influencia de las órbitas periódicas inestables y su estructura hiperbólica en la mecánica cuántica. las órbitas periódicas son objetos invariantes con una gran relevancia en la comprensión de la dinámica de sistemas caóticos. El trabajo pionero de poincaré demostró la importancia de estas órbitas en la organización del movimiento caótico clásico. En los años 70, gutzwiller desarrolló su fórmula traza semiclásica, que permite cuantizar sistemas clásicamente caóticos en términos exclusivamente de órbitas periódicas, en la literatura científica se recogen otras manifestaciones cuánticas muy llamativas de las órbitas periódicas. Entre ellas, una de las más significativas son las funciones de scar, que suponen una localización de densidad cuántica sobre órbitas periódicas inestables para ciertas autofunciones individuales o combinaciones lineales de autofunciones del sistema. Este fenómeno fue observado por primera vez en el estadio de bunimovich, y estudiado en profundidad por e. J. Heller (prl 53,1515) quien desarrollo una teoría de scarring basada en la propagación de paquetes de onda. Una importante contribución posterior se debe a e. Bogomolny (phys. D 31,169), que derivó una expresión explícita para las contribuciones de las órbitas periódicas a la densidad de probabilidad cuántica suavizada en pequeños rangos energéticos. En 1994, el grupo de borondo (prl 73,1613) publica un nuevo método de construcción de funciones de scar en sistemas clásicamente caóticos que fusiona las ideas de heller y bogomolny. la existencia de scars implica una regularidad en el correspondiente espectro cuántico, relacionada con el periodo de la órbita periódica asociada. En el dominio temporal, la dinámica de un paquete de ondas que recorre un órbita periódica induce recurrencias en la función de correlación, y al efectuar sobre ella una transformada de fourier se obtiene un espectro suavizado con picos cuyos anchos son proporcionales al exponente de estabilidad de la órbita, centrados en las energías para las cuales la órbita esta cuantizada según la condición ebk. Además de este comportamiento regular, wisniacki y borondo (prl 94,054101) han demostrado la existencia de una regularidad espectral adicional originada por el movimiento homoclínico asociado a la órbita periódica, relacionada con las áreas definidas por las variedades estable e inestable al cruzarse por primera vez. Para descubrir esta regularidad, consideraban las fluctuaciones de los anchos de banda espectrales de funciones de onda localizadas sobre órbitas periódicas inestables (scars) respecto a los esperados en función del periodo y coeficiente de estabilidad de dichas órbitas. Hasta el momento los únicos métodos publicados para la construcción de funciones de scar son los correspondientes a los trabajos de heller, bogomolny, vergini y borondo. éste último está basado en la construcción de funciones de scar a partir de combinaciones lineales de autoestados del sistema considerado. Los coeficientes y el intervalo de energía se obtienen a partir de la propagación a tiempos cortos de paquetes de onda situados sobre la órbita periódica. El problema que presenta este método es que el paquete de ondas, al evolucionar, tiende a abandonar órbitas periódicas largas a favor de otras más cortas próximas en el espacio, lo que impide la construcción de funciones de scar sobre órbitas periódicas complejas. así, en la tesis se presenta un nuevo método teórico de construcción de funciones de scar, en el cual se retoma el trabajo del grupo de borondo en el oscilador cuártico, pero en vez de partir de un paquete de ondas centrado sobre una órbita periódica y seguir su libre evolución, se construyen funciones de «tubo» de modo que el paquete de ondas se ve obligado a permanecer centrado sobre la órbita estudiada. Esto impide que el paquete se desvíe en su evolución hacia órbitas periódica próximas más sencillas, y nos permite construir funciones de scar sobre cualquier órbita periódica de un sistema. Este método presenta la ventaja de que es extensible a cualquier sistema mixto o caótico que presente órbitas periódicas inestables. En las funciones de scar obtenidas, la densidad cuántica se localiza sobre una combinación lineal de autofunciones del sistema, cuyos coeficientes pueden determinarse a partir del estudio de la intensidad de las bandas de su espectro cuántico de resolución infinita. A su vez, el espectro suavizado de las funciones obtenidas permite estudiar la relación entre la mecánica clásica del oscilador cuártico, fuertemente caótica, y la mecánica cuántica. A imagen de los trabajos de wisniacki et al, en la tesis se estudia la influencia de la estructura hiperbólica del sistema en las fluctuaciones de los anchos del espectro suavizado para tiempos cercanos al tiempo de ehrenfest. Pero mientras en estos trabajos en el billar de bunimovich las oscilaciones podían explicarse de forma muy sencilla en función de las áreas homoclínicas definidas por las variedades estable e inestable al cruzarse por primera vez, en el trabajo de la doctoranda en el oscilador cuártico el comportamiento de las oscilaciones de loa anchos de banda es mucho más complejo. La complicada estructura hiperbólica hace que las fluctuaciones no puedan explicarse en función exclusiva del área homoclínica más corta, y es necesario recurrir además a las áreas de varios circuitos heteroclínicos cortos que influyen decisivamente en la dinámica. De esta manera se establece una relación entre la dinámica clásica del sistema y su comportamiento cuántico. La dinámica hiperbólica está relacionada con la construcción de scars ya que parte de la densidad de probabilidad se dispersa por las variedades inestables y vuelve a la órbita periódica a través de los circuitos homo y heteroclínicos dando lugar a recurrencias responsables del fenómeno de scarring. El trabajo de esta tesis se ha visto completado con el estudio de las funciones de distribución de husimi de las funciones de scar construidas, asi como con la aplicación del método de construcción al sistema molecular licn, lo que ha permitido alcanzar una visión más global del problema.
Datos académicos de la tesis doctoral «Construcción y análisis de funciones de scar. aplicación a un oscilador cuártico y a sistemas moleculares.«
- Título de la tesis: Construcción y análisis de funciones de scar. aplicación a un oscilador cuártico y a sistemas moleculares.
- Autor: Lara Hernando Orden
- Universidad: Autónoma de Madrid
- Fecha de lectura de la tesis: 21/03/2007
Dirección y tribunal
- Director de la tesis
- Florentino Borondo Rodriguez
- Tribunal
- Presidente del tribunal: otilia Mo romero
- edwin l Sibert (vocal)
- eduardo german Vergini (vocal)
- María teresa Martínez seara alonso (vocal)