Tesis doctoral de María Victoria Redondo Neble
En esta memoria nos centramos en el análisis numérico de dos métodos: el método de descomposición de la viscosidad y el método de segregación de presión basado en un método de proyección incremental, aplicados a dos problemas: las ecuaciones de navier-stokes incompresibles y las ecuaciones primitivas. respecto al problema de navier-stokes, mejoramos las estimaciones de error obtenidas para el esquema con descomposición de la viscosidad introducido y estudiado por blasco y codina. éste es un esquema a dos pasos que separa la no linealidad y la incompresibilidad del problema en pasos diferentes, pero conservando el término de viscosidad y las condiciones de contorno para la velocidad en ambos pasos (primero se calcula una velocidad intermedia ${_x0008_f u}^{m+1/2}$ como una primera aproximación de la solución ${_x0008_f u}(t_{m+1})$% y resolviendo un % problema de convección-difusión y después $({_x0008_f u}^{m+1},p^{m+1})$ como aproximación de $({_x0008_f u}(t_{m+1}),p(t_{m+1}))$.% Resolviendo un problema de tipo stokes. la convergencia de las velocidades es obtenida por blasco, codina y huerta, quienes obtuvieron además % $l^{infty}({_x0008_f l^2}) cap l^2 ({_x0008_f h}^1) $ y posteriormente, % aplicando resultados de compacidad para ‘controlar’ el límite de % los términos convectivos, un paso al límite conduce a la % convergencia. Por otro lado, en cite{bc2} los autores obtuvieron estimaciones de error de orden $o(k)$ en $l^2 ({_x0008_f h}^1)cap l^{infty}({_x0008_f l}^2)$ para la velocidad final ${_x0008_f u}^{m+1}$ y orden $o(k^{1/2})$ en $l^2(l^2)$ para la presión. Estas estimaciones en tiempo fueron usadas % encite{bc-cedya} para obtener estimaciones de error para un esquema totalmente discreto (con soluciones ${_x0008_f u}_h^{m+1/2}$ y $({_x0008_f u}_h^{m+1},p_h^{m+1})$), basada en una aproximación de elementos finitos de orden $o(h)$ en ${_x0008_f h}^1$ y orden $o(h^2)$ en ${_x0008_f l}^2$ para las velocidades y $o(h)$ en $l^2$ para la presión, llegando a: $ |{_x0008_f u}(t_m) -{_x0008_f u}_h^m | _{l^{infty}(l^2) cap l^2 (h^1)} le c, (k+h) $, bajo la restricción $h^2 le c, k$. Además, se realizaron cálculos numéricos, que conducían a orden $o(k)$ tanto en velocidad como en presión. % en esta memoria pretendemos rellenar el salto existente entre el análisis numérico (en % donde se tenía $o(sqrt{k})$ para la presión) y los cálculos % numéricos (en los que se observa orden $o(k)$) respecto a la % aproximación en tiempo para la presión. otros estudios han sido realizados con esquemas en tiempo de descomposición de la viscosidad obteniendo también, en el caso totalmente discreto, % es estudiado junto con varios métodos de elementos finitos de % galerkin discontinuos en espacio, obteniendo estimaciones suboptimales en el análisis numérico y observando resultados numéricos con orden óptimo. en la presente memoria rellenamos estos saltos demostrando que analíticamente se obtienen los resultados observados en los experimentos numéricos. así, para el esquema semidiscreto en tiempo, mejoramos el orden de la estimación de error para la presión, de $o(sqrt{k})$ a $o(k)$ y mejoramos la norma de las estimaciones de error en velocidad y presión, pasando de $l^{infty}({_x0008_f l}^2)$ a $l^{infty}({_x0008_f h}^1)$ en velocidad y de $l^{2}(l^2)$ a $l^{infty}(l^2)$ en presión. posteriormente, usamos este esquema semidiscreto en tiempo como un problema auxiliar, para obtener las estimaciones en el esquema totalmente discreto con elementos finitos, extendiendo el orden en velocidad y presión, de $o(k)$ a $o(k+h)$ y mejorando el orden en la estimación de error para la velocidad en norma $l^2({_x0008_f l}^2)$, de $o(k+h)$ a $o(k+h^2)$. juntando estos dos pasos anteriores y bajo la restricción sobre los parámetros de tiempo $k$ y espacio $h$, $h^2 le c, k$, obtendremos las estimaciones óptimas de error para los errores totales. posteriormente, aproximamos el problema de navier-stokes con un esquema de segregación de la presión inspirado en un método de proyección con presión incremental. Para el método de proyección no incremental, shen obtiene estimaciones de orden $o(k^{1/2})$ en $l^2({_x0008_f h}^1)cap l^{infty}({_x0008_f l}^2)$ y de orden $o(k)$ en $l^2({_x0008_f l}^2)$ para ambas velocidades y de orden $o(k^{1/2})$ en $l^2(l^2)$ para la presión y, para el método de proyección incremental, estas estimaciones son mejoradas por guermond y quartapelle a orden $o(k+h)$ en $l^2({_x0008_f h}^1)cap l^{infty}({_x0008_f l}^2)$ para la velocidad intermedia y a orden $o(k+h)$ en $l^2(l^2)$ para la presión, considerando una aproximación en espacio de elementos finitos basada en una formulación mixta velocidad-presión y obteniendo las estimaciones bajo la restricción de los parámetros $k^2le alpha ,h $ (en el caso tridimensional). En la presente memoria, obtenemos también estimaciones óptimas de error, % : % $ |{_x0008_f u}(t_m) -{_x0008_f u}_h^m |_{l^{infty}(h^1)} + |p(t_m) – p_h^m |_{ l^{infty} (l^2)} % le c, (k+h) $, pero usando un esquema totalmente discreto desacoplado para los problemas de la velocidad y presión e imponiendo una restricción diferente, concretamente $h le alpha, k$. respecto a las ecuaciones primitivas, hacemos un análisis numérico con los mismos esquemas que hemos usado para abordar el problema de navier-stokes. ahora, la pro-ble-má-ti-ca fundamental es la pérdida de regularidad de la velocidad vertical. Así, el uso de estimaciones anisótropas, la suposición de soluciones más regulares y restricciones de distinto tipo nos aparecerán ahora. en el caso del método de descomposición de la viscosidad, no podremos hacer un razonamiento como el que hemos realizado para el caso de navier-stokes, ya que no es posible utilizar el problema semidiscreto en tiempo como problema auxiliar para la obtención de las estimaciones de los errores totales. debemos en este caso comparar la solución exacta directamente con un esquema totalmente discreto. Se diseña entonces un esquema numérico sobre una formulación diferencial del problema de ecuaciones primitivas basado en un esquema de descomposición de la viscosidad en tiempo y una aproximación espacial de elementos finitos sobre una malla no estructurada en general, obteniendo estabilidad y convergencia, cuando $(k,h) o 0$, hacia una solución débil y estimaciones de error respecto de una solución suficientemente regular, concretamente para $l=1,2$ (donde $l$ es el orden de aproximación de los elementos finitos), estimaciones de error de orden $o(sqrt{k}+h^l)$ para las velocidades ${_x0008_f u}_h^{m+1/2}$ y ${_x0008_f u}_h^{m+1}$, estimaciones mejoradas (de orden $o(k+h^l)$) para la velocidad final ${_x0008_f u}_h^{m+1}$ y estimaciones $o(sqrt{k}+h^l)$ para la derivada discreta de la velocidad final en $l^2 ({_x0008_f l}^2)$, que conducen a estimaciones de orden $o(sqrt{k}+h^l)$ para la presión. seguidamente, sólo para $l=2$, obtendremos estimaciones de orden $o(sqrt{k}+h^2)$ para las derivadas discretas de las velocidades ${_x0008_f u}_h^{m+1/2}$ y ${_x0008_f u}_h^{m+1}$ y estimaciones mejoradas (de orden $o(k+h^2)$) para la derivada discreta de la velocidad final ${_x0008_f u}_h^{m+1}$, que conducen a estimaciones de orden $o(k+h^2)$ para la presión. finalmente, considerando una específica malla estructurada en vertical, obtendremos estimaciones de error de orden $o(k+h^{l+1})$ para la velocidad final ${_x0008_f u}_h^{m+1}$ en $l^2 ({_x0008_f l}^2)$. Como consecuencia de este resultado, podremos ahora obtener estimaciones de error de orden $o(k+h)$ la presión en $l^2( l^2)$ en el caso $l=1$. finalmente, para el esquema semidiscreto en tiempo de proyección incremental usado para aproximar el problema de ecuaciones primitivas sobre un formulación íntegro-diferencial, sí podremos obtener estimaciones de error óptimas ($o(k)$ para las velocidades, las derivadas discretas de las velocidades y la presión), que pueden servir como etapa intermedia para la obtención de las estimaciones de los errores totales.
Datos académicos de la tesis doctoral «Análisis numérico de esquemas fraccionados en tiempo para navier-stokes 3d y ecuaciones primitivas«
- Título de la tesis: Análisis numérico de esquemas fraccionados en tiempo para navier-stokes 3d y ecuaciones primitivas
- Autor: María Victoria Redondo Neble
- Universidad: Sevilla
- Fecha de lectura de la tesis: 26/09/2008
Dirección y tribunal
- Director de la tesis
- Francisco Manuel Guillen Gonzalez
- Tribunal
- Presidente del tribunal: rodolfo Bermejo bermejo
- mercedes Marin beltran (vocal)
- Francisco Ortegon gallego (vocal)
- Jorge Blasco lorente (vocal)