Tesis doctoral de María Angela Grau Gotes
Gran parte de los problemas en ciencias experimentales y otras disciplinas se pueden expresar en forma de ecuaciones no lineales. La solución de estas ecuaciones rara vez se obtiene en forma cerrada; con el desarrollo de los ordenadores, estos problemas pueden ser abordados por algoritmos numéricos que aproximan la solución. Concretamente, se utilizan métodos iterativos de punto fijo, que generan una secuencia convergente presumiblemente a la solución de la ecuación o sistema de ecuaciones. Desde j.F. Traub, (iterative methods for the solution of equations, prentice-hall, n.J. 1964) inició el estudio cualitativo y el análisis cuantitativo de éstos métodos iterativos en la década de los sesenta, los métodos iterativos para sistemas no lineales ha sido un área de constante estudio para los analistas numéricos. la contribución que presenta este compendio en este campo es el análisis y la construcción de nuevos métodos iterativos mejorando ya sea el orden de convergencia o ya sea la eficiencia computacional de éstos o de otros ya conocidos. Para el estudio de nuevos métodos iterativos, se ha revisado, analizado y en algun caso redefinido los conceptos clásicos de orden de convergencia computacional, de ecuación del error y de coste computacional de un método iterativo, tanto para una ecuación como para un sistema de ecuaciones no linealesen concreto, se ha trabajado en los siguientes puntos: – el cálculo del orden local de convergencia para métodos conocidos de dos pasos y para nuevos métodos iterativos multipaso se realiza haciendo uso de desarrollos formales en serie de potencias del error. Se ha desarrollado la función f, el operador jacobiano, el operador jacobiano inverso, el operador diferencia dividida y su operador inverso. – se generan algunas medidas que aproximan el orden local de convergencia del método iterativo. Se presentan cuatro nuevas variantes para el cálculo del orden de convergencia computacional (coc, computational order of convergence); un parámetro que necesita el valor de la solución o raíz, y tres parámetros que no requieren de éste valor. – construcción de familias, los esquemas iterativos de las cuáles son variantes del método de newton y del método de chebyshev, mejorando el orden y la eficiencia de éstos. – estudio de diversas familias, derivadas del método de la secante (secante, kurchatov y steffensen), variantes de estos métodos y elección de los más eficientes. – generalización de los conceptos de índice de eficiencia y de eficiencia computacional para ecuaciones a sistemas de ecuaciones no lineales. Se ha denominado índice de eficiencia computacional (cei, computational efficiency index). – análisis y construcción de procesos iterativos de precisión variable. La precisión aumenta a medida que la computación avanza, y el resultado final se obtiene con la máxima precisión posible, dependiendo del ordenador y el software disponibles. – expresión del coste de la evaluación de las funciones elementales en términos de productos. Este coste depende del ordinador, el software y la aritmética que se utiliza. Los cálculos numéricos mencionados se ha realizado con el sistema algebraico maple. – una nueva forma de comparar el tiempo de ejecución dedicado al cálculo por los diferentes esquemas iterativos. consiste en calcular el tiempo necesario para conseguir un decimal correcto de la solución por el método escogido. Concretamente, se mide la relación entre el tiempo transcurrido para cumplir el criterio de parada y el número total de decimales correctos obtenidos por el algoritmo. los cinco trabajos seleccionados para constituir este compendio fueron publicados en revistas científicas del área de matemática aplicada. El factor de impacto de éstas se encuentra en el primer tercio de acuerdo con la clasificación del journal of citation reports. Además, he publicado cuatro artículos previos, que no forman parte de esta memoria por fecha de publicación, válidos para un sexenio el año 2011.
Datos académicos de la tesis doctoral «On iterative methods to solve nonlinear equations«
- Título de la tesis: On iterative methods to solve nonlinear equations
- Autor: María Angela Grau Gotes
- Universidad: Politécnica de catalunya
- Fecha de lectura de la tesis: 28/01/2015
Dirección y tribunal
- Director de la tesis
- Miguel Grau Sánchez
- Tribunal
- Presidente del tribunal: José manuel Gutiérrez jiménez
- sergio Amat plata (vocal)
- (vocal)
- (vocal)