Soluciones de la ecuación de beltrami con coeficiente regular

Tesis doctoral de Victor Alberto Cruz Barriguete

Consideremos la ecuación de beltrami $overline{partial}, f(z)=mu(z) partial, f(z),quad zinmathbb{c}$ donde $mu$ es una función medible definida en el plano y tal que satisface la condición de elipticidad $|mu|_{infty}leq k<1$. a la aplicación $mu$ se le llama emph{coeficiente de beltrami}. Por el teorema de morrey de 1938, existe esencialmente una única solución de la ecuación de beltrami que es un homeomorfismo y pertenece al espacio de sobolev $w_{loc}^{1,2}(mathbb{c})$ (funciones donde tanto la función como sus primeras derivadas parciales pertenecen a $l_{loc}^{2}(mathbb{c})$). A esta solución se le llama $mu$-emph{quasiconforme} o emph{$k$-quasiconforme. }Toda solución en $w_{loc}^{1,2}(mathbb{c})$ de la ecuación de beltrami se llama emph{quasiregular. } es conocido que uno puede encontrar una aplicación quasiconforme que puede expresarse de forma explícita como $ f(z)=z+ch(z) $ donde $c$ es la transformada de cauchy. A esta aplicación quasiconforme la llamamos emph{solución principal}. mediante el teorema de stoilow, podemos relacionar las aplicaciones quasiregulares con la aplicación quasiconforme puesto que emph{cualquier solución de la ecuación de beltrami es la composición de una función holomorfa con la aplicación quasiconforme } el objetivo de esta tesis es presentar resultados de regularidad de la soluciones a la ecuación de beltrami cuando el coeficiente tiene una cierta regularidad. Un primer resultado nos dice que:emph{ dado un espacio de funciones $x (mathbb{c})$, si el coeficiente de beltrami $muin x(mathbb{c})$ tiene soporte compacto y satisface la condición de elipticidad $|mu|_{infty}leq k<1$, entonces la solución principal $f(z)=z+ch(z)$ y cumple que $hin x(mathbb{c})$. } también consideramos el estudio de la regularidad de las soluciones para coeficientes de beltrami que están restringidos a un dominio acotado $omega$ del plano. El resultado principal demostrado es el siguiente: emph{sean $02$. Consideremos un dominio acotado $omega$ con frontera de clase $mathcal{c}^{1,epsilon}$ y $mu$ una función medible soportada en $omega$ tal que $|mu|_{infty}leq k<1$. Entonces, si $muin x^{alpha,p}(omega)$, entonces la solución principal de la ecuación de beltrami es $f(z)=z+ch(z)$, donde $hin x^{alpha,p}(omega)$ y donde $x^{alpha,p}(omega)=w^{alpha,p}(omega)$ ó $b_{p,p}^{alpha}(omega)$.} Demostramos para ciertos espacios de funciones definidos en un dominio $omega$ de $mathbb{r}^{n}$ que si $t$ es un operador de calderón-zygmund de tipo par, la condición que $tchi_{omega}$ pertenezca al espacio de funciones $x(omega)$ (donde $chi_{omega}$ es la función característica en $omega$) equivale a queemph{ $t$} seaemph{ }acotado deemph{$x(omega)$} en $x(omega)$. en el espacio de lebesgue con pesos $l^{p}(omega)$ donde $omega$ es de la clase de muckenhoupt $a_{p}$, demostramos que el operador de beltrami $i-mu b$ es invertible en $l^{p}(omega)$ cuando $omega$ es un peso de $a_{p}$.  

Datos académicos de la tesis doctoral «Soluciones de la ecuación de beltrami con coeficiente regular«

• Título de la tesis:  Soluciones de la ecuación de beltrami con coeficiente regular
• Autor:  Victor Alberto Cruz Barriguete
• Universidad:  Autónoma de barcelona
• Fecha de lectura de la tesis:  04/11/2011

Dirección y tribunal

• Director de la tesis
  • Joan Eugeni Mateu Bennassar
• Tribunal
  • Presidente del tribunal: artur Nicolau nos
  • María José González fuentes (vocal)
  • (vocal)
  • (vocal)