Tesis doctoral de Elisa Lorenzo García
En esta tesis estudiamos el cálculo explícito de twists de curvas. Se desarrolla un algoritmo para calcular los twists de una curva dada asumiendo que su grupo de automorfismos en conocido. Además, en el caso particular en que la curva es no hiperelíptica se enseña como calcular ecuaciones de los twists. El algoritmo está basado es una correspondencia que establecemos entre el conjunto de twists de la curva y el conjunto de soluciones a un cierto problema de embeding de galois. Aunque no existe un método general para resolver este tipo de problemas a lo largo de la tesis se exponen algunas ideas para resolver algunos de estos problemas en concreto. los twists de curvas de género menor o igual que 2 son bien conocidos. Mientras que los casos de género 0 y 1 se conocen desde hace tiempo, el caso de género 2 es más reciente y se debe al trabajo de cardona y quer. Todas las curvas de género, 0,1 y 2 son hiperelípticas, sin embargo, las curvas de género mayor o igual que 3 son en su mayoría no hipérelípticas. como aplicación a nuestro algoritmo damos una clasificación con ecuaciones de los twists de todas las cuárticas planas lisas, es decir, de todas las curvas no hiperelípticas de género 3, definidas sobre un cuerpo de números k. El primer paso para calcualr estos twists es obtener una clasificación de las cuárticas planas lisas definidas sobre un cuerpo de números k arbitrario. El punto de partida para obtener esta clasificación es la clasificación de henn de cuárticas planas definidas sobre los números complejos y con grupo de automorfismos no trivial. un ejemplo de la importancia del estudio de los twists de curvas es que se ha probado que resulta ser de gran utilidad para el mejor entendimiento del carácter de la conjetura de sato-tate generalizada, como puede verse en los trabajos de entre otros: fité, kedlaya y sutherland. En la tesis se prueba la conjetura de sato-tate para el caso de los twists de las cuárticas de fermat y de klein como corolario de un resultado de johansson, además se calculan los grupos y las distribuciones de sato-tate de estos twists. siguiendo con el estudio de la conjetura generalizada de sato-tate, en el último capítulo de la tesis se estudia la conjetura para el caso de las hipersuperficies de fermat: x_{n}^{m}: x_{0}^{m}+…+X_{n+1}^{m} = 0. Se muestra esplícitamente como calcular los grupos de sato-tate y las correspondientes distribuciones. Además se prueba la conjetura para el caso n=1 sobre el cuerpo de los números racionales y para n mayor que 1 sobre el cuerpo de las raíces m-ésimas de la unidad.
Datos académicos de la tesis doctoral «Arithmetic properties of non-hyperelliptic genus 3 curves«
- Título de la tesis: Arithmetic properties of non-hyperelliptic genus 3 curves
- Autor: Elisa Lorenzo García
- Universidad: Politécnica de catalunya
- Fecha de lectura de la tesis: 10/09/2014
Dirección y tribunal
- Director de la tesis
- Joan Carles Lario Loyo
- Tribunal
- Presidente del tribunal: francesc Fité naya
- anna Rio doval (vocal)
- (vocal)
- (vocal)