Tesis doctoral sobre Variedades complejas

Tesis doctoral de Marti Lahoz Vilalta The first goal of this thesis is to contribute to the study of principally polarized abelian varieties (ppav), especially to the  schottky and the torelli problems. ppav admit a duality theory analogous to that of projective spaces, where the role  played by hyperplanes in projective spaces is played by divisors representing the principal polarization. thus, given a  subvariety y of a ppav, we can define its theta­dual t(y) as the set of divisors representing the principal polarization  that contain this subvariety. this set admits a natural schematic structure (as defined by pareschi and popa). jacobian and prym varieties are classical examples of ppav constructed from curves. besides, they are interesting  because some properties of the curves involved in their construction are reflected in their geometry or in the geometry  of some special subvarieties. for example, in the case of jacobians we have the brill­noether loci wd ( w1 corresponds  to the abel­jacobi curve) and in the case of pryms we have the abel­prym curve c.  in chapter iii, we study the schematic structure of the theta­dual of the brill­noether loci wd  and the abel­prym curve.  in the first case, we obtain with different methods, the result of pareschi and popa  t(wd)= wg­d­1. in the case of the  abel­prym curve c, we get that t(c)=v², where v² is the second prym­brill­noether locus with the schematic structure  defined by welters. pareschi and popa have proved a result for ppavs analogous to the castelnuovo lemma for projective spaces. that is,